De normale verdeling.

In 1968 werden alle jongens van 18 jaar nog gekeurd voor de toen geldende dienstplicht. In de onderstaande tabel kun je de lengte van 1000 van deze jongens aflezen.

Klasse
ondergrens	bovengrens	midden	frequentie
155	160	157,5	15
160	165	162,5	80
165	170	167,5	235
170	175	172,5	370
175	180	177,5	210
180	185	182,5	80
185	190	187,5	10
190	195	192,5	0
195	200	197,5	0
200	205	202,5	0

		totaal	1000

Kiezen we aselect 1 persoon uit deze 1000, dan kunnen we, als x de kansvariabele is die de lengte van de aselect te kiezen persoon aangeeft, eenvoudig bepalen dat P(x < 170) = (235+80+15)/1000 = 0,330.

We breiden de tabel als volgt uit.

Klasse
ondergrens	bovengrens	midden	frequentie	freq. dichtheid per cm	rel. freq. dichtheid
155	160	157,5	15	3	0,003
160	165	162,5	80	16	0,016
165	170	167,5	235	47	0,047
170	175	172,5	370	74	0,074
175	180	177,5	210	42	0,042
180	185	182,5	80	16	0,016
185	190	187,5	10	2	0,002
190	195	192,5	0	0	0
195	200	197,5	0	0	0
200	205	202,5	0	0	0

		totaal	1000

	Nu kunnen we de kans P(x < 170 ) ook berekenen met behulp van de relatieve frequentiedichtheid. P(x < 170) = 0,003 x 5 + 0,016 x 5 + 0,047 x 5 = 0,330 Kijken we in het histogram, ook wel dichtheidsfunctie genoemd, dan zien we dat de berekende kans gelijk is aan de oppervlakte van de gele staafjes. Dit is een belangrijke eigenschap van de dichtheidsfunctie.

Nu kunnen we de kans P(x < 170 ) ook berekenen met behulp van de relatieve frequentiedichtheid.

P(x < 170) = 0,003 x 5 + 0,016 x 5 + 0,047 x 5 = 0,330

Kijken we in het histogram, ook wel dichtheidsfunctie genoemd, dan zien we dat de berekende kans gelijk is aan de oppervlakte van de gele staafjes. Dit is een belangrijke eigenschap van de dichtheidsfunctie.

Wanneer we het aantal jongens vergroten tot het aantal 5245, zoals in de onderstaande tabel, dan kunnen we de klassebreedte kleiner maken.

Klasse
ondergrens	bovengrens	midden	frequentie	freq. dichtheid per cm	rel. freq. dichtheid
154,5	155,5	155	7	7	0,001334604
155,5	156,5	156	10	10	0,001906578
156,5	157,5	157	10	10	0,001906578
157,5	158,5	158	14	14	0,002669209
158,5	159,5	159	20	20	0,003813155
159,5	160,5	160	41	41	0,007816969
160,5	161,5	161	59	59	0,011248808
161,5	162,5	162	73	73	0,013918017
162,5	163,5	163	108	108	0,020591039
163,5	164,5	164	131	131	0,024976168
164,5	165,5	165	180	180	0,034318398
165,5	166,5	166	218	218	0,041563394
166,5	167,5	167	242	242	0,04613918
167,5	168,5	168	288	288	0,054909438
168,5	169,5	169	306	306	0,058341277
169,5	170,5	170	346	346	0,065967588
170,5	171,5	171	370	370	0,070543375
171,5	172,5	172	379	379	0,072259295
172,5	173,5	173	353	353	0,067302193
173,5	174,5	174	345	345	0,06577693
174,5	175,5	175	304	304	0,057959962
175,5	176,5	176	298	298	0,056816015
176,5	177,5	177	241	241	0,045948522
177,5	178,5	178	222	222	0,042326025
178,5	179,5	179	177	177	0,033746425
179,5	180,5	180	138	138	0,026310772
180,5	181,5	181	105	105	0,020019066
181,5	182,5	182	82	82	0,015633937
182,5	183,5	183	59	59	0,011248808
183,5	184,5	184	35	35	0,006673022
184,5	185,5	185	27	27	0,00514776
185,5	186,5	186	19	19	0,003622498
186,5	187,5	187	19	19	0,003622498
187,5	188,5	188	10	10	0,001906578
188,5	189,5	189	9	9	0,00171592

		totaal	5245

		gemiddelde		172,0743565
		variantie		32,33612983
		standaardafwijking		5,686486598

	Ook nu kunnen we als x de kansvariabele voor de lengte van een aselect gekozen persoon uit deze 5245 is weer berekenen dat P(x < 170) = (173 + 306 + 288 + 242 + 218 + 180 + 131 + 108 + . + 7)/5245 = 1880/5245 = 0,358. Deze kans 0,358 kunnen we weer koppelen aan de oppervlakte onder de dichtheidsgrafiek met x < 170. Veel mensen zal de getoonde grafiek doen denken aan de normale verdeling. Dat klopt ook , want als we de grafiek van de normale verdeling tekenen met een gemiddelde van 172,0744 (de gemiddelde lengte van de 5245 jongens) en een standaardafwijking van 5,686487 (de standaardafwijking voor de lengte van de 5245 jongens) , dan krijgen we een vrijwel gelijke grafiek.

Ook nu kunnen we als x de kansvariabele voor de lengte van een aselect gekozen persoon uit deze 5245 is weer berekenen dat P(x < 170) = (173 + 306 + 288 + 242 + 218 + 180 + 131 + 108 + . + 7)/5245 = 1880/5245 = 0,358.
Deze kans 0,358 kunnen we weer koppelen aan de oppervlakte onder de dichtheidsgrafiek met
x < 170.
Veel mensen zal de getoonde grafiek doen denken aan de normale verdeling. Dat klopt ook , want als we de grafiek van de normale verdeling tekenen met een gemiddelde van 172,0744 (de gemiddelde lengte van de 5245 jongens) en een standaardafwijking van 5,686487 (de standaardafwijking voor de lengte van de 5245 jongens) , dan krijgen we een vrijwel gelijke grafiek.

	De hoogte van de punten van de normale verdeling kun je berekenen door de x-waarde in te vullen in de formule met μ de gemiddelde lengte 172,07 en σ de standaardafwijking 5,686, p is het getal 3.14159 en e is 2.718282. Zo vind je voor x = 170 de waarde 0,06564, wat goed overeenkomt met de 0,065968 uit de tabel met lengtes.

De hoogte van de punten van de normale verdeling kun je berekenen door de x-waarde in te vullen in de formule

met μ de gemiddelde lengte 172,07 en σ de standaardafwijking 5,686, p is het getal 3.14159 en e is 2.718282.

Zo vind je voor x = 170 de waarde 0,06564, wat goed overeenkomt met de 0,065968 uit de tabel met lengtes.

Het voordeel van de normale verdeling is, dat we alle oppervlaktes (en dus een benadering van de kansen) kunnen berekenen, terwijl alleen het gemiddelde en de standaardafwijking bekend hoeven te zijn. Hoe dat in zijn werk gaat zien we in de volgende hoofdstukken.