De binomiale verdeling

Oefening 1

Bij een binomiaal kansexperiment wordt een alternatief, een experiment met twee mogelijke uitkomsten, meestal succes en mislukking genoemd, een aantal (n) keer uitgevoerd. De herhaalde alternatieven zijn onafhankelijk. Hierbij wordt de kansvariabele gedefinieerd door

k : het aantal successen.

Als voor het alternatief geldt P(Succes)= p , dan noteren we k ~Bin(n, p ), wat betekent dat k binomiaal verdeeld is met n herhalingen en 'succes'kans p

Voorbeeld 1

We gooien 5 keer met een dobbelsteen en definiëren k : het aantal keer 6. Het alternatief is nuéé n worp met de dobbelsteen waarbij P(6)= p =1/6 en P(geen 6) = P(m) = 5/6. Waarbij de m staat voor mislukking (geen 6).
Dit alternatief wordt 5 maal herhaald (n=5). Er geldt nu k ~Bin(n=5; p =1/6). Om de kansverdeling van k te berekenen maken we eerst een boom.

De kansverdeling van k is eenvoudig te bepalen

immers de enige serie in de boom met 0 maal 6 is m m m m m

er zijn 5 series met 1 maal 6, m m m m 6 , m m m 6 m , m m 6 m m , m 6 m m m , 6 m m m m er zijn 10 series met 2 maal 6.

Het aantal series kunnen we ook berekenen. We moeten uit de vijf plaatsen waar een 6 of geen 6 (m) geschreven kan worden er twee kiezen om een 6 te plaatsen. Dit kan op

manieren.

Grafiek van deze kansverdeling

Bereken met je rekenmachine de verwachting van k , de standaardafwijking van k en de variantie van k .

Als je dat goed gedaan hebt, vind je E( k ) = 5/6 = 0,83, σ( k) = 0,69 en dus VAR( k ) = 0,48.

Constateer dat E( k ) = 5/6 = 5·(1/6) = n·p en VAR( k ) = 0,48225 = 5·(1/6) ·(5/6) = n·p·(1-p)

Voorbeeld 2

 

voor gebruik website
>