De binomiale verdeling en de grafische rekenmachine

In het voorgaande hebben we gezien hoe we kansen bij binomiale verdelingen kunnen berekenen. Hoewel we nu principe alle binomiale kansen kunnen bepalen, zul je snel ontdekken dat een aantal van deze berekeningen wel erg veel tijd kost. Je kunt de grafische rekenmachine gebruiken.

voorbeeld 1

Bij het verpakken van appels in dozen van 10 stuks wordt onderscheid gemaakt tussen grote en kleine appels. Er is bekend dat van de aangevoerde appels, 40% groot en 60% klein is. Een sorteermachine sorteert in 5 minuten 100 appels. Bereken de kans dat de machine in 5 minuten minder dan 50 grote appels verzamelt.

Als we ervan uitgaan dat het aantal aangevoerde appels zeer groot is, kunnen we als alternatief nemen het pakken van één appel. Hierbij hebben we de kansen
P(appel is groot)= p =0,4 en
P(appel is klein)=1- p =0,6. Let op dat we p =0,4 nemen omdat naar het aantal grote appels wordt gevraagd.

Dit nemen van één appel wordt in de periode van 5 minuten 100 maal herhaald, dus n=100. We nemen als kansvariabele
k: het aantal grote appels.
Zodat k ~Bin(n=100, p =0,4)

Gevraagd wordt te berekenen P( k<50)

In de kansverdeling moeten we de oppervlakte van de staafjes behorend bij k=0 tot en met k=49 optellen. Hierbij is de oppervlakte van de staafjes gelijk aan de hoogte omdat de breedte van elk staafje 1 is.

Op de rekenmachine gebruik je de functie binomcdf(100,0.4,49) om P(k≤49) = 0,9729 te vinden. Op de TI-83 vind je deze functie onder de toets DISTR.

Met de functie binompdf(n,p,k) bereken de kans P( k = k)

voorbeeld 2

Bij de fabricage van geheugen chips is 5% van de chips defect. Door middel van controle metingen worden deze defecte chips verzameld. Bereken de kans dat bij 50 metingen meer dan 2 defecte chips worden gevonden.

Het alternatief is de controle van 1 chip, waarbij het ontdekken van een defecte het succes vormt. (Immers we tellen de defecte chips)

Het aantal herhalingen is 50 en dus is k : het aantal defecte chips binomiaal verdeeld met n=50 en p=0,05.

We moeten berekenen P( k>2)=P( k ≥3) Met de grafische rekenmachine vinden we de kansen P( k ≤ k) zodat we schrijven

P( k ≥3)= P( k =3)+...+ P( k =50)

P( k =0)+P( k =1)+P( k =2)+P( k =3)+...+P( k =50)=1 dus

P( k ≤2) + P( k ≥3) =1 en

P( k ≥3)=1-P( k≤ 2)

Met de grafische rekenmachine geeft dit:

P( k>2)=P(k ≥3)=1-P( k ≤2)=1-binomcdf(50,0.05,2)=1-0,5405=0,4595

0,4595 is de totale oppervlakte van de staafjes behorende bij k=3 tot en met k=50 in de getekende kansverdeling.

voor gebruik website
>